什么是有理数 0是不是有理数

文章编号：1747 / 分类：最新资讯 / 更新时间：2024-04-03 17:17:30 / 浏览：次
0是不是有理数

在《无理数的认识》的讲座中提到，人类对无理数的了解已有悠久历史，然而要清晰地表达无理数却并非易事。要准确表达无理数，首先需要对有理数的表示形式进行转换。我们通常将能够表示为m/n形式的数称为有理数，其中m、n为整数，n≠0。当然，在这基础上就可定义无理数，视为不能用分数形式表示的数，但这一定义实属艰难，尤其是难以在数轴上建立起明。因此，我们首先需要确定能够与数轴相对应的有理数定义，这需要利用小数来界定有理数。那么，分数和小数之间的联又是怎样的呢？(0,1)之间的小数通常可以一般地表示为两种形式，其中a、a、…、a取值为0到9的自然数。我们将其中一种表示为有限小数A，另一种无限小数可观察，有些分数可转化为有限小数，有些分数虽不能转为有限小数，却可转化为无限循环小数，例如等等。这种表示是否普适呢？也就是说，所有分数是否都可转为有限小数或无限循环小数？答案是肯定的，我们将会证实此结论。

考虑分数m/n，不失一般性，假m>n，现在利用有和无限环小数来定义有理数呢？或许为时过早。若要构建新的定义，该定义的前提与结论必须充要，以保持定义的等价性。因此我们还需证明有数或无循环小数均可转为分数。根据式（1），一个有限小数可表示为这显然可对应于一个分数。至于无限循环小数，可分为两部分：前有限项（可为0）、以及无限循环项，不失一般性，我们假设无限循环小数为循环项构成，如此，式（2）可表示为其中，C=.aa…a，括号内为等比级数，公比为1/10，q≧1。设s表示前n项的和，由于1/10<1，易验证当n→∞时，s→1/1-1/10，因此，此为分数，故为有理数。如今，我们已得出基于小数的有理数定义：有理数为有限小数或无限循环小数。由此可推得无理数的定义：无理数为无限非循环小数。基于此，可得实数的定义：实数为有理数和无理数的统称。我们用R表示实数构成的全体集合。如此，我们终于清晰勾勒出实数，并知实数与数轴上的点相对应。接下来，需通过实数的运算验证该定义是否适宜。显然，该运算基于有理数的四则运算，且重点在解决无理数的运算。

以√2与√3的运算为例，下是计算结果。由√2=1.4142135…和√3=1.7320508…，可得因此，利用无限非循环小数进行无理数四则运算是可行的。实际上，计算机在进行运算时就是如此。如何证明√2•√3=√6呢？管可计算出√6=2.4494896…，与之前结果相近，但依赖验证证明无限情况是不妥的，并且无法一般证明对所有正实数a和b成立√a•√b=√a•b。故，虽然用无限非循环小数定义无理数直观、运算也可行，但证明尤其是提供一般性结论却不易。为解决上述问题，从魏尔斯特拉斯起，很多数学家，包括戴德金、康托等，于约1872年同时发表文章，建立了各自的实数理论。接来下，我们将介绍两种主要方法：基本序列方法和戴德金分割方法。